Inserisci tre valori conosciuti e lascia una variabile (a, b, c oppure d) sconosciuta per trovare il valore mancante in una proporzione utilizzando il nostro calcolatore di proporzioni.
La proporzione viene utilizzata per risolvere rapporti equivalenti. La scriviamo come:
La prima e l’ultima quantità, a e d, sono chiamate estremi, mentre b e c sono chiamate medi. Simbolicamente, a, b, c e d sono scritti in questo modo:
a:b::c:d
⇒a:b=c:doppureab=cd
ad=bc
Tipi di proporzione
Esistono due tipi principali di proporzione:
Proporzione diretta
Proporzione inversa
Proporzione diretta
Due quantità sono direttamente proporzionali quando aumentano o diminuiscono insieme mantenendo lo stesso rapporto. Ad esempio, se una quantità raddoppia, anche l’altra quantità raddoppia. Se una quantità viene ridotta della metà, anche l’altra viene ridotta della metà.In notazione, si scrive y ∝ x.
Proporzione inversa
Due quantità sono inversamente proporzionali quando una quantità aumenta mentre l’altra diminuisce in modo tale che il loro prodotto rimane costante. Ad esempio, se una quantità raddoppia, l’altra viene ridotta della metà. In notazione, si scrive y ∝ 1/x.
Proprietà delle proporzioni
Una proporzione mostra che due rapporti sono uguali. Esistono diverse regole utili che permettono di trasformare una proporzione mantenendo valida l’uguaglianza.
Addendo – Se a : b = c : d, sommando i termini corrispondenti si ottiene (a + c) : (b + d).
Sottraendo – Se a : b = c : d, sottraendo i termini corrispondenti si ottiene (a − c) : (b − d).
Dividendo – Se a : b = c : d, allora (a − b) : b = (c − d) : d.
Componendo – Se a : b = c : d, allora (a + b) : b = (c + d) : d.
Alternando – Se a : b = c : d, i termini possono essere riorganizzati ottenendo a : c = b : d.
Invertendo – Se a : b = c : d, invertendo entrambi i rapporti si ottiene b : a = d : c.
Componendo e dividendo – Se a : b = c : d, combinando l’addizione e la sottrazione dei termini si ottiene (a + b) : (a − b) = (c + d) : (c − d).
Come si calcola una proporzione?
Vediamo alcuni esempi.
Esempio 1
Trova x, se:
x kg:20 kg::90 m:60 m
cioè
60:90=20:x
Poiché il prodotto dei medi = il prodotto degli estremi
Quindi
60x=90 × 20
x=90 × 2060=30
Pertanto x è uguale a 30 kg.
Esempio 2
x−32:5x−1::x−13:4x+4
Prodotto degli estremi = prodotto dei medi
x−32×4x+4=5x−1×x−13
Moltiplichiamo a sinistra e semplifichiamo (x − 1) a destra:
4(x−3)2(x+4)=53
Semplifichiamo il 2 a sinistra:
2(x−3)x+4=53
Moltiplicando in croce:
3 × 2(x−3)=5(x+4)
6(x−3)=5(x+4)
Sviluppiamo le parentesi:
6x−18=5x+20
Portiamo le x a sinistra e i numeri a destra:
6x−5x=20+18
x=38
Esempio 3
8−x:11−x::16−x:25−x
Prodotto degli estremi = prodotto dei medi
(8−x)(25−x)=(11−x)(16−x)
Sviluppiamo i prodotti:
200−8x−25x+x2=176−11x−16x+x2
200−33x+x2=176−27x+x2
Semplifichiamo x2 da entrambi i lati:
200−33x=176−27x
Portiamo le x a destra e i numeri a sinistra:
200−176=33x−27x
24=6x
Dividiamo entrambi i lati per 6:
x=246=4
Esempi di proporzioni nella vita quotidiana
Esempio 4
Al mercato 3 kg di mele costano 6 €. Quanto costeranno 8 kg di mele?
Sia x il prezzo di 8 kg. Scriviamo la proporzione:
3 kg:6 €::8 kg:x €
Prodotto degli estremi = prodotto dei medi
3 × x=6 × 8
3x=48
Dividiamo entrambi i lati per 3:
x=483=16
Pertanto 8 kg di mele costano 16 €.
Esempio 5
Supponiamo che 50 € valgano 55 dollari. Quanti dollari si ottengono cambiando 120 €?
Sia x il numero di dollari. Scriviamo la proporzione:
50 €:55 $::120 €:x $
Prodotto degli estremi = prodotto dei medi
50 × x=55 × 120
50x=6600
Dividiamo entrambi i lati per 50:
x=660050=132
Pertanto 120 € corrispondono a 132 dollari.
Esempio 6
Due grandezze sono direttamente proporzionali se, quando una raddoppia, raddoppia anche l’altra: il loro rapporto resta costante.
Un’auto percorre 150 km in 2 ore a velocità costante. Il tempo e la distanza sono direttamente proporzionali. Quanti km percorre in 5 ore?
Sia x la distanza in 5 ore. Scriviamo la proporzione:
2 h:150 km::5 h:x km
Prodotto degli estremi = prodotto dei medi
2 × x=150 × 5
2x=750
Dividiamo entrambi i lati per 2:
x=7502=375
Pertanto in 5 ore l’auto percorre 375 km.
Esempio 7
Due grandezze sono inversamente proporzionali se, quando una raddoppia, l’altra si dimezza: il loro prodotto resta costante.
6 operai finiscono un lavoro in 12 giorni. Il numero di operai e il numero di giorni sono inversamente proporzionali. Quanti giorni servono a 9 operai?
Sia x il numero di giorni. Poiché sono inversamente proporzionali, il rapporto dei giorni è l’inverso del rapporto degli operai:
6:9::x:12
Prodotto degli estremi = prodotto dei medi
6 × 12=9 × x
72=9x
Dividiamo entrambi i lati per 9:
x=729=8
Pertanto 9 operai finiscono il lavoro in 8 giorni.
Informazioni sul nostro calcolatore proporzioni
Il nostro calcolatore prende tre valori conosciuti e risolve il quarto valore passo dopo passo. Prima, dispone i valori come una proporzione. Poi, utilizza la regola secondo cui il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi. Infine, risolve l’equazione per trovare il valore mancante e mostra il risultato.
Esercizi con risposte
Trova x in ciascuna proporzione:
1.3:5::9:x
2.x:8::15:24
3.4:x::20:35
4.2x:6::10:15
5.x+2:5::9:15
6.3x−2:4::2x+3:7
7.7−x:10−x::2:3
Vita quotidiana: scrivi la proporzione e risolvi.
8.4 kg di pasta costano 12 €. Quanto costano 10 kg di pasta?
9.Un’auto consuma 5 litri di benzina per percorrere 60 km. Quanti km percorre con 20 litri?
10.Se 10 € valgono 11 dollari, quanti dollari si ottengono cambiando 70 €?
11.Una ricetta usa 2 uova ogni 300 g di farina. Quante uova servono per 750 g di farina?
Grandezze direttamente proporzionali: se una aumenta, aumenta anche l’altra. Scrivi la proporzione e risolvi.
12.3 quaderni costano 9 €. Quanto costano 7 quaderni?
13.Un rubinetto riempie 40 litri d’acqua in 8 minuti. Quanti litri riempie in 15 minuti?
14.Una macchina produce 120 pezzi in 4 ore. Quanti pezzi produce in 9 ore?
Grandezze inversamente proporzionali: se una aumenta, l’altra diminuisce. Scrivi la proporzione e risolvi.
15.4 operai finiscono un lavoro in 15 giorni. Quanti giorni servono a 6 operai?
16.Un’auto a 60 km/h impiega 6 ore per un viaggio. Quante ore impiega a 90 km/h?
17.Una scorta di cibo dura 20 giorni per 12 persone. Quanti giorni dura per 15 persone?
Domande frequenti
Trova il terzo proporzionale di 3 e 4
Il terzo proporzionale di due numeri a e b è il numero x tale che:
a:b::b:x
Qui a = 3 e b = 4. Sia x il terzo proporzionale. Scriviamo la proporzione:
3:4::4:x
Prodotto degli estremi = prodotto dei medi
3 × x=4 × 4
3x=16
Dividiamo entrambi i lati per 3:
x=163
Pertanto il terzo proporzionale di 3 e 4 è
163
Trova il quarto proporzionale di 3, 7 e 8
Il quarto proporzionale di tre numeri a, b e c è il numero x tale che:
a:b::c:x
Qui a = 3, b = 7 e c = 8. Sia x il quarto proporzionale. Scriviamo la proporzione:
3:7::8:x
Prodotto degli estremi = prodotto dei medi
3 × x=7 × 8
3x=56
Dividiamo entrambi i lati per 3:
x=563
Pertanto il quarto proporzionale di 3, 7 e 8 è
563
Trova la proporzione media tra 4 e 9
La media proporzionale di due numeri a e b è il numero x tale che:
a:x::x:b
Qui a = 4 e b = 9. Sia x la media proporzionale. Scriviamo la proporzione:
4:x::x:9
Prodotto degli estremi = prodotto dei medi
4 × 9=x × x
36=x2
Estraiamo la radice quadrata da entrambi i lati:
x=√36
x=6
Pertanto la media proporzionale tra 4 e 9 è 6.
Come capire se due rapporti formano una proporzione?
Due rapporti formano una proporzione quando rappresentano lo stesso valore o la stessa relazione. In altre parole, se due rapporti sono equivalenti, si dice che sono in proporzione. Ad esempio, 1:2, 2:4 e 3:6 sono equivalenti perché ogni rapporto rappresenta la stessa relazione. Pertanto, questi rapporti sono in proporzione.
